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2013.12.17.Tue 14.4色定理のゲーム その3

更新がだいぶ遅れてしまいましたが,早速,前回予告していた, 3人で遊ぶ「RGBゲーム」を紹介していきたいと思います。

3人で遊ぶ「RGBゲーム」は,3人それぞれがちがう色を受け持ち,四目並べのように下から順にピラミッド状に石を積み上げていくゲームです。ルールはいたって簡単で,隣り合ったところに同じ色が来ないように積み上げていくだけです。つまり,自分の石を置けなくなった人が負けということになります。

例えば,次の図は,底辺を5個にしたとき,R1→G1→B1→R2→・・・・・・→B5と置いていったものです。この場合は引き分けということになります。

しかし,上の手順の中で,B3のときにB4のところに置いたとすると,次の通りとなります。

次にR4を積み上げる場所は赤丸で示した2箇所ありますが,どちらも先に置いたRと隣り合わせになるので置けず,Rの負けとなります。

実は,このルールでは,R,G,Bの有利・不利がかなりあります。意外(?)にも,Gがいちばん不利で,Bがいちばん有利なのです。 例えば,上の例のように底辺5の場合,すべての手順から負ける確率を計算するとR50%,G35%,B11%,引き分け4%となります。この数値だけを見るとRがいちばん不利にみえますが,Rは先番なので初めに自分の有利な場所に置くことができます。Rが有利に進められるのは底辺の真ん中に1手目を置いた場合です。このとき,負ける確率がR14%,G72%,B14%となります。

ただし,Rは有利といっても,自力で勝つことはできません。そう考えると,3人で遊ぶ「RGBゲーム」は圧倒的にBが有利なゲームです。

結局のところ,有利・不利がかなり出てしまうため,新しいゲームの提案にはなりませんでしたが,今後,何かしら新しいゲームを考えるきっかけとして,引き続き模索を続けていきたいと思っています。

というわけで,今回で4色定理のゲームの考察は終わります。次回からは新しいテーマ,スネークキューブ編に突入していきたいと思っています。



2013.04.24.Wed 13.4色定理のゲーム その2

前回,4色定理から考えた「RGBゲーム」を紹介しましたが,今回はその考察をしていきたいと思います。


まず,上のような9つのマスでは先手が1回余分に色を塗ることになるため,「隣り合うところに同じ色を塗ってはだめ」というルールからすると先手が不利になるような感じを受けると思います。でも,意外にも,このゲームは実は先手が有利なのです。 例えば,次のように先手が中央に最初の赤色(R1)を塗るとします。


このとき,後手は次のいずれかの場所に次の緑色(G2)を塗ることになります。(回転して同じになるものは除いて考えます)


左のように後手が角の部分を塗った場合,先手は次のような位置に青色(B3)を塗ると,最善の手を尽くしていけば勝つことができます。


また,右のように後手が辺の部分を塗った場合,先手は次のような位置に青色(B3)を塗ると,最善の手を尽くしていけば,最低でも引き分けることができます。


ちなみに,後手が引き分けに持ち込めるのは,次のような塗り分け方しかありません。


というわけで,今回の考察はここまでにします。 この「RGBゲーム」は2人で3色を交互に塗っていくため,自分の色が決まっているゲームにくらべてとまどいが生じるのが難点です。次回は,3人で遊べるように改良した「RGBゲーム」を考察していこうと思っています。




2013.01.22.Tue 12.4色定理のゲーム その1

今回から何回かにわたって,4色定理をもとにしたゲームを考察していきたいと思います。

まず,4色定理を知らない方のために,簡単に説明しておきます。
4色定理とは,どのような地図も,隣接する領域が異なる色になるように塗るには4色あれば十分だ,という定理です。ちなみに,以前は未解決の問題だったために,4色問題といわれていました。

例えば,次のようなものです。



桃色とそのまわりの部分に着目すると,3色では塗り分けられないことがわかります。なお,5色必要な場合があるのではないか,というのを否定するのが4色定理の証明の難しいところなのですが,詳しく知りたい人は自分で調べてみてください。

回りくどくなりましたが,そこから考えたゲームが次の「RGBゲーム」です。
ゲームのルールは,次の通り。
・2人で遊ぶ。
・縦横3マスずつの方眼を台紙に使う。
・順番を決め,交互に色を塗っていく。
・交互に塗る色は,R(赤),G(緑),B(青),・・・の繰り返し。
・隣り合う領域に同じ色を塗ってはいけない。
・先に塗れなくなった人の負け。全部塗り終えたら引き分け。




というわけで,この考察は次回に続きます。



2012.11.07.Wed 11.「ひでパー」 その4


今回は,「ひでパー考察」4回目,最終考察です。

前回予告していたように,今回は「ひでパー」の対戦型の遊び方を紹介します。

2人対戦で,将棋のように向かい合って座ります。用意するものは,オセロのような8×8マスの盤面,ひでパーの5種類のカードのうちB,C,D,E各8枚ずつをそれぞれが持ち,あとは双六のようなコマがそれぞれ1つずつ。これだけです。



大まかな遊び方は,自分のいちばん手前のマス目から相手のいちばん手前のマス目まで,手持ちのカードをうまくつなぎつつ,自分のコマを進めて到達させる,というものです。

対戦する2人は交互に,カードを盤面に1枚置くか,自分のコマを進めるか,どちらかを選んで行なうことができます。パスも可能です。

カードは,どこにどの順番で置いても構いません。ただし,先に置いているカードとつながるように置かなければなりません。

コマは,曲がり角までは一気に進むことができます。ただし,途中で止まっても構いません。

このゲームのミソは,自分のつなげた道が相手の道にもなるところです。また,カードをつなげるのを優先するのか,コマを進めるのを優先するのかを判断するのが勝負の決め手になりそうです。

また,発展的な遊び方として,自分の番にできる行動として盤面のカードを1枚取ることができる(直前に置いたカードは不可)ようにする遊び方,左右にもう2人座って合計4人で遊ぶ遊び方などがあります。

というわけで,「ひでパー考察」は終了です。次回は新作ゲームを紹介予定です。乞うご期待!



2012.10.19.Fri 10.「ひでパー」 その3


さて,1つ番外編をはさみましたが,今回は「ひでパー」考察3回目です。

前回は,次の5種類のカードを一辺4個の正方形の大きさにならべたとき,線がつながる形が何通りあるかを考えました。


前回はただ数を数えるだけに留まりましたが,今回はその遊び方を考えていきたいと思います。

まず考えたのが,パズル的な遊び方です。ルールは簡単で,5種類のカードの枚数を決めて,それにしたがってカードを一辺4個の正方形にならべるというものです。

例えば,「A4枚,B4枚,C6枚,D2枚,E0枚」なら,次のような配置が考えられます。


遊び方としては,各プレーヤーにランダムに16枚ずつカードを配り,いちばん早く完成させた人が勝ち,というものが考えられます。ただ,まだ解析しきれていませんが,配られたカードによっては正解の配置がない場合もありそうです。

また,パズル的な遊び方としてもう一つ考えたのは,前回紹介した一辺2個の正方形37種類のうち,A4枚というパターンを除く36種類を使って,一辺6個の正方形を完成させる(つまり,一辺12枚のカードが並ぶことになります)というものです。興味のある人は,ぜひチャレンジしてみてください。

さて,今回はパズル的な遊び方を紹介してきましたが,次回はパズル的というよりは戦略を使って対戦していく遊び方を探っていきたいと思っています。



2012.08.31.Fri 9.○×ゲーム



前々回,前回と,「ひでパー」の紹介と解析を2回続けてきましたが,今回は,番外編として「○×ゲーム」の考察をしてみたいと思います。

「○×ゲーム」は別名「三目並べ」や「Tic-Tac-Toe」ともいわれ,3×3マスの9つのマス上に○×を交互に書いていくゲームです。おそらく大半の人は学校などで一度は経験しているのではないかというぐらい,ポピュラーなゲームです。

それだけポピュラーなゲームであるため,何となくの法則を知っている人も多いと思います。例えば,次のようなものです。
・先手が有利
・真ん中に書くと有利

では,これらの法則は本当に正しいのか?それを考察していきたいと思います。

(考察)
正しいです。おわり。









・・・と,これで終わったら,せっかく読んでもらっている人たちに怒られそうなので,もう少し解析をしていくことにします。

残念ながら,これらの法則は本当に正しいのです。まず,事実だけを先に書くと,次の3点がこのゲームのすべてといっていいようなものです。
・お互いにベストの手を尽くせば,必ず引き分けになる
・先手は,真ん中に1手目を書くと,負けることはない
・後手は,先手の1手目が真ん中のときは角に,それ以外のときは真ん中に2手目を書くと,負けることはない
(2つ目と3つ目は,リーチされているのに見落としたというような負けは含めません)
つまり,ある程度このゲームを知っている者同士では,先手が真ん中に1手目,後手が角に2手目を書いて,常に引き分けという事態になってしまうのです。

知っていれば勝負がつかないゲームなのに人気があるのは,ルールが単純なことと,それほど勝敗にこだわらなければ気軽に遊べるものだからでしょう。ただ,それでも勝ちたい,知らない人を欺きたいという人のために,コツを示したいと思います。



上の画像は,先行と後攻が1,2と書いたときに,先行の立場としてどこに書けば勝てるかをまとめたものです。

まず,先手としては,やはり真ん中に1手目をかくと負けないことが改めてわかります。ただ,2・3回くり返して後攻が2手目を角に書いてきたとしたら,その人は対処方法を知っているといえます。そんなときは,1手目を角に書くことがお勧めです。もちろん2手目を真ん中に書かれると必ず引き分けに陥りますが,それ以外の対処方法だと必ず勝てる場所が存在します。1手目を辺に書くのは負ける可能性が多くなりますので,初心者にはあまりお勧めできません。

後手は,その名の通り後手後手にまわります。先手が1手目を真ん中に書いた時は迷うことなく角に,先手が1手目を辺や角に書いたときは迷うことなく真ん中に書くと,負けることはありません。

さて,勝敗の決まらないこの「○×ゲーム」ですが,発想を逆転させて「3つ並べたら負け」としたらどうでしょうか。実は,先手必敗となります。その理由は,以下の通りです。
・真ん中に書くのは明らかに不利なので,順番からいって先手が必ず書く
・そうすると,後手が負けるのは辺に3つ並ぶ場合のみ
・辺に3つ並ばないように,先手が書いた隣のマスに書いていけばよい

本当かどうか怪しいと思う人は,ぜひ試してみてください。



2012.07.04.Wed 8.「ひでパー」 その2

さて,前回の「ひでパー」考察2回目です。

前回は,次の5種類のカードを一辺3個の正方形の大きさにならべたとき,線がつながる形が何通りあるかを考えました。



今回はその発展で,一辺4個の正方形が何通りあるかを考えていきます。
たかが3個が4個になるだけなのですが,これがなかなか難しいのです。

まず,一辺4個という大きさを,一辺2個の正方形が一辺2個ずつある,と考えてみます。



仮に,上のように「あ」「い」「う」「え」の一辺2個の正方形を考えると,例えば「あ」については,「い」や「う」へのつながりから考えて,次のような3種類の型があることがわかります。

1.独立型(「い」にも「う」にもつながらない)
(例)


2.一方向型(「い」か「う」どちらかにつながる)
(例)


3.二方向型(「い」と「う」両方につながる)
(例)


これらは,それぞれ1は2個,2は5個,3は30個の合計37個のパターンがあります。
まとめると,次のようになります。


あとは難しくなるので,さらっと書いていきます。

上記の「あ」「い」「う」「え」のようにならべるには,
・独立型4個
・独立型2個と一方向型2個
・独立型1個と一方向型2個と二方向型1個
・一方向型4個
・一方向型2個と二方向型2個
・二方向型4個
の6パターンあります。

それぞれ樹形図をかいてひたすら数え上げたところ,6通り,21通り,166通り,21通り,845通り,3001通り,の合計4060通りあることがわかりました。

・・・・・・・・・・・・・・・・・

以上から,一辺2個の場合は2通り(上で考えた「独立型」),一辺3個の場合は13通り,一辺4個の場合は4060通り,と膨大になっていくことがわかります。一辺5個以上の場合は,コンピュータで数え上げるしかないのかなと思います。

と,今回は,ひたすら数え上げただけになってしまいました。
とりあえず,今回の収穫は,数を拡張して一辺4個以上にしていくと数が膨大になってしまい,一辺3個のときに肝だといっていたポーカーや麻雀のような役がつくりにくいということです。

というわけで,次回はそれでも何とかしてゲームパズルとして遊ぶ方法を探っていくことにします。



2012.06.08.Fri 7.「ひでパー」 その1


私が高校生の頃,友達の間でカードゲームが流行っていました。
カードゲームといっても,今現在あるような遊戯王やポケモンを代表とするトレーディングカードゲームや,「オーナーズリーグ」などのネットに登録して遊ぶものではなく,トランプをはじめとした原始的なもの。トランプはもちろんのこと,「ウノ」や「水道管ゲーム」といったメジャーなものから,「マッド」や「
O’NO 99」といったマイナーなものにまで手を広げていました。実は,いちばんはまったカードゲームは「O’NO 99」(本物は入手できなかったため,見よう見まねでつくった手製のもの)なのですが,その話はまたいずれ。


そんな中,何かオリジナルのカードゲームができないかと思って作成したのが,今回紹介する「ひでパー」というゲームです。


用意するカードは,次の5種類です。
枚数はそれぞれ12618126枚の合計54枚用意します。これらのカードを,裏返して山に置き,そこから各プレーヤーに下のように3×3に並ぶように配ります。


このゲームの目的は,カードに描かれた線の端がなくなるように(ぐるっとつながるように)することです。各プレーヤーは順に不要なカードを捨て,山から1枚ひいていきます。各カードはその場で回転することはできますが,お互いに場所を入れ替えることはできません。


例えば,上のカードの配置からすると,次のような完成形(薄い青色をつけたカードは山からひくことを期待)を目指すことができます。



もちろん,目指す完成形は上のような形以外にもあり,次の通り全部で13種類(厳密には,┐篭戚迷仂里侶舛ありますが,同じ┐箸靴泙后砲△蠅泙后




このゲームの肝は,ポーカーや麻雀のように役があるところです。上記の,ら難易度が高い順に並んでいて,難易度が高いものをつくった人ほど強いということになります。


今回はここまでにして,次回は更なる発展形や遊び方を考えていきたいと思います。



2012.05.08.Tue 6.「折り絵合わせ」パズル その4

今回は,いよいよ「折り絵合わせ」パズルの解答編です。

解析編(前編)で紹介したように,バラバラになった4枚の絵がそれぞれどの位置にあるかというパターンは,私が現在知っている限り49通りあります。これらができるかどうかを確認するのは,けっこう大変なことでした。ただ,それ以上に大変なのは,その解答を示すことなのです。

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2012.03.14.Wed 「折り絵合わせ」パズル その3

今回は,前々回に引き続き,「折り絵合わせ」パズルの解析(後編)をしてみます。

解析(前編)で示したように,分割された4枚の絵が表裏にどのように配置されているときに折り絵合わせできるのかがだいたいわかりました。ところが,折り絵合わせパズルを完成させるには,さらにそれを6種類の絵について,表裏の24箇所をきっちりと埋める必要があります。それが今回のテーマです。

まずは,表面に着目して,6種類の絵がそれぞれ何枚あるかを(4,4,4,0,0,0)のような組み合わせとして表してみます。つまり,この場合,3種類の絵が表面に4枚ずつあり,残りの3種類の絵は表面に1枚も無く裏面に4枚ずつあるということです。このような組み合わせは,以下の通りA〜Rの18種類あります。
A(4,4,4,0,0,0),B(4,4,3,1,0,0),C(4,4,2,2,0,0),
D(4,4,2,1,1,0),E(4,4,1,1,1,1),F(4,3,3,2,0,0),
G(4,3,3,1,1,0),H(4,3,2,2,1,0),I(4,3,2,1,1,1),
J(4,2,2,2,2,0),K(4,2,2,2,1,1),L(3,3,3,3,0,0),
M(3,3,3,2,1,0),N(3,3,3,1,1,1),O(3,3,2,2,2,0),
P(3,3,2,2,1,1),Q(3,2,2,2,2,1),R(2,2,2,2,2,2)

表裏は相互に同じ組み合わせで対になるものが多く,A,B,C,G,H,J,N,P,Q,Rがそれにあたります。違う組み合わせのものは,DとF,EとL,IとM,KとOとなります。

では,前回の49通りの配置を具体的に上のA〜Rにあてはめると,どれぐらいの折り絵合わせパズルができるのか。それは,現時点では不明です。ただ,おそらく数万から数十万種類になると思われます。例えば,一番かんたんなAのパターンは片面だけで17種類ありますが,表裏で考えると17×17=289種類,回転や反転まで考えるとさらに4×4倍の4624種類になります。きっちりとした数を出したいところですが,それは読者のみなさんへの宿題として置いておくことにします。

さて,次回は,いよいよ「折り絵合わせ」パズルの解答編です。これまでのパズルの,さらには49通りの配置の全ての解答を掲載するつもりです。

最後に,またまたおまけとして,初級パズルを1つ掲載しておきます。先ほどのAのパターンで,実は表裏の6種類の絵がどれも違うパターンになるものは,回転や反転を除くとたった1種類しかありません。その貴重な(?)作品をプレゼントします。簡単なので,気軽にチャレンジしてみてください。





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