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2012.01.23.Mon 一筆書き

前々回,前回と,「折り絵合わせ」パズルの紹介と解析を2回続けてきましたが,今回は,一度「折り絵合わせ」パズルから離れ,少し趣向を変えてみたいと思います。


今回のテーマは「ひと筆がき」です。

おそらく、「ひと筆がき」を知らない人はあまりいないのではないかというぐらい、有名な問題ですが、そもそもの起源は18世紀にさかのぼるようです。その当時、ケーニヒスベルクという町に7つの橋がかかっており、「7つの橋を、2度渡ることなく、すべて渡ることができるか?」という疑問が話題になったことが発端だといわれています。

 

この疑問を解決したのがレオンハルト・オイラーです。彼は、次のような図に表し、この図が一筆書きできないということを証明して否定的にケーニヒスベルクの橋渡りの問題を解決しました。

 

きっちりとした証明は少し難しくなるので省きますが、簡単にいうと、辺が奇数個集まっている頂点の数が02なら一筆書き可能です。上の図の場合、辺が奇数個集まっている頂点が4つあるので一筆書きできないといえます。辺が奇数個集まっている頂点の数が0の場合、どこから書き始めても最後は元の位置にもどるような形で一筆書きが可能です。また、辺が奇数個集まっている頂点の数が2の場合、一方の頂点を始点、もう一方の頂点を終点として一筆書きが可能です。このことは、ひもを置いていくようなイメージをもって考えると、何となくわかると思います。

 

さて、ここまでが長くなりましたが前置きです。

 

私は、子どもの頃、夜に寝つけないときなどは、天井を眺めて、天井の目に沿って一筆書きができるかどうかを考えたりしていました。その当時は一筆書きができるかどうかを判定する術を知らなかったからでもありますが、けっこう熱心にやっていたのを覚えています。

 

いつの頃か、一筆書きの原理を知ってからはあまりそういうことをしなくなっていたのですが、つい最近、お風呂に入っていたときのこと。昔なつかしくそのことを思い出して、お風呂の中の空間を立方体と見立てて、辺を一筆書きしてみました。

 

もちろん、さっきの理屈から、頂点が8つあってどれも辺が奇数個集まっているのだから、一筆書きをすることができません。・・・しかし、ヒラメキは急にやってきました。

「一度ずつではなく、二度ずつならできる!」

 

そう、当たり前のことかもしれませんが、二度ずつ通ることにすれば、大雑把にいえばどの頂点も集まる辺が2倍となって全ての頂点が偶数個の辺が集まることになるのです。また、うまい経路をたどると、それぞれの辺は全て違う向きで二度通ることが可能ということもわかります。(詳しい説明は省きます)

 

もちろん、どんな複雑な図でもいけるわけです。このことを、日常に置き換えてみると、例えば道路。一方通行なしの二車線の道路がどれだけ複雑に絡んでいても、その全ての道路をたどって全ての土地を訪れることができることになります。これってすごくないですか???

 

まだまだ「一筆書き」は広がりそうな感じもしますが、それはまたいずれ。




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